Cumartesi, 02 Haziran 2012 22:35

Matematikte 270 yıldır çözülemeyen Goldbach Sanısı Öne Çıkarılmış

Yazan
Ögeyi Oylayın
(0 oy)

Sayılar Kuramı'nın 270 senedir çözülemeyen önemli problemlerinden bir tanesinin çözümüne yaklaşıldı. Goldbach Sanıtı olarak adlandırılan problem 1742 yılında ortaya atılmıştı.

Zayıf Goldbach sanıtı (çözülememiş, açık problem), 7'den büyük herhangi bir tek sayının en fazla üç asal sayının toplamı olarak yazılabildiği. Asal sayılar, kendisinden ve 1'den başka bir tam sayıya bölünemeyen tam sayılara deniyor. Bu özelliği nedeniyle asal sayılar, tam sayıların yapı taşları gibi düşünülüyor. Örneğin 24 = 2 x 2 x 2 x 3. Çok büyük asal sayılar, özellikle kriptoloji uygulamalarında büyük öneme sahipler. Birkaç küçük tam sayıda Goldbach Sanıtını denersek:

35 = 19 + 13 + 3
veya
77 = 53 + 13 + 11

şeklinde, sanıtın bu küçük sayılar için doğru olduğu hemen görülüyor. Ancak tüm sayıları kapsayacak bir ispat yaklaşık 270 yıldır en yetenekli matematikçiler tarafından bile yapılamadı.

ABD'de, UCLA'da matematikçi olan Çin kökenli Avusturalyalı Terence Tao*, tek sayıların en fazla 5 asal sayının toplamı olarak yazılabildiğini ispatladı ve 5 olan toplanan sayısının da 3'e indirilebileceğine dair ümitli.

Güçlü ve Zayıf Goldbach Sanıtları
18yy'da matematikçi Christian Goldbach tarafından iki sanıt yapılıyor. Bunlardan Güçlü Goldbach Sanıtı, aslında çağdaşı farklı bir matematikçiye, Leonhard Euler'e ait olan sanıt, '2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceği'. Zayıf Goldbach Sanıtı da Güçlü Goldbach Sanıtı'nın sonucu olarak ortaya çıkıyor. Şöyle ki, eğer Güçlü Sanıt doğru ise tek bir sayıyı üç asal sayının toplamı olarak yazmak için, toplamdan 3 çıkartmak, kalan sayı çift olacağı için iki asalın toplamı olarak yazmak ve 3'ü toplama geri eklemek ve 3. asal sayı olarak da eklemek yeterli.

Matematikçiler bilgisayar yardımı ile 19 basamaklı sayılara değin tüm tam sayılar için iki sanıtı da test ettiler ve bir istisna bulamadılar. Üstelik sayı büyüdükçe daha fazla sayıda farklı toplamlar olarak yazmanın mümkün olduğunu da gördüler.

77 = 53 + 13 + 11 = 59 + 13 + 7 = 67 + 7 + 3 = 47 + 17 + 13 = 29 + 29 + 19 = ...

Matematikçiler, Zayıf Goldbach Sanıtı için, 1930'larda istisnaların sonlu sayıda olduğunu klasik bir teorem ile gösterdiler. Bu da sanıtın belli bir eşikten daha büyük sayılar için doğru olduğu anlamına geliyor.

Goldbach'ın Euler'e 1742'de yazdığı mektuptan.

Tao, küçük sayılar için denenen bilgisayar sonuçları ile büyük sayılar için varılan sonucu bir araya getirerek, ve daha önce yapılan hesaplardan da yararlanarak, 5 asal sayı kullanmak koşulu ile iki geçerli alanı üst üste bindirmeyi başardı. Tao, yaklaşımını genişleterek, tüm durumlar için 3 asal sayının yeterli olacağını gösterebilmeyi ümit ediyor. Tao, Zayıf Goldbach Sanıtını'nın kıyaslanamayacak ölçüde daha kolay olduğunu, zira, herhangi bir sayıyı 3 sayının toplamı olarak yazabilmek için, “üç sayının da asal olduğu durumları bulmanın çok daha olası olduğunu” belirtiyor.

Okunma 3117 kez
Cüneyt Hocam

This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.